威力彩機率：2,209 萬分之一是怎麼算的
「威力彩頭獎中獎率約 1/2,209萬」這個數字印在官方頁面上，但它是怎麼來的？這頁把它拆成兩個乘數，再把其餘九個獎項的算式一條一條列出來。你不需要相信我們，拿計算機按一次就知道了。
本頁目錄（14 個段落）
先看四個數字
先說清楚一件事：彩券是負期望值的遊戲。下面每一個玩法，長期平均拿回來的錢都比投入的少，這不是運氣問題，是規則本身就這樣定的。本頁把返還率算給你看，是為了讓你知道自己在買什麼，不是在教你怎麼贏。沒有任何選號方式、任何工具、任何分析可以改變上面那些機率。
第一步：分母怎麼來的
威力彩有兩個選號區，所以分母是兩個數字相乘。
分母的兩個乘數
- 第 1 區從 38 個號碼選 6 個、不計順序 →
C(38,6) ＝ (38×37×36×35×34×33) ÷ (6×5×4×3×2×1) ＝ 2,760,681 - 第 2 區從 8 個號碼選 1 個 →
C(8,1) ＝ 8 - 相乘
2,760,681 × 8 ＝ 22,085,448
官方標示的「約 1/2,209萬」，指的就是 1 ÷ 22,085,448。對得上。這個對照很重要——它證明我們接下來用的模型和官方是同一套。
第二步：其餘九個獎項怎麼數
每個獎項的算法都是同一個模式：第 1 區對中 k 個（其餘從沒開出的 32 個號碼裡挑），再乘上第 2 區中或不中（不中有 7 種選擇）。
十個獎項的中獎組合數（分母皆為 22,085,448）
- 頭獎（6 中＋第2區中）
1→ 1/22,085,448 - 貳獎（6 中＋第2區不中）
1 × 7 ＝ 7→ 1/3,155,064 - 參獎（5 中＋第2區中）
C(6,5)×C(32,1) ＝ 6×32 ＝ 192→ 1/115,028 - 肆獎（5 中＋第2區不中）
192 × 7 ＝ 1,344→ 1/16,433 - 伍獎（4 中＋第2區中）
C(6,4)×C(32,2) ＝ 15×496 ＝ 7,440→ 1/2,969 - 陸獎（4 中＋第2區不中）
7,440 × 7 ＝ 52,080→ 1/424 - 柒獎（3 中＋第2區中）
C(6,3)×C(32,3) ＝ 20×4,960 ＝ 99,200→ 1/223 - 捌獎（2 中＋第2區中）
C(6,2)×C(32,4) ＝ 15×35,960 ＝ 539,400→ 1/41 - 玖獎（3 中＋第2區不中）
99,200 × 7 ＝ 694,400→ 1/32 - 普獎（1 中＋第2區中）
C(6,1)×C(32,5) ＝ 6×201,376 ＝ 1,208,256→ 1/18.3
注意「C(32,k)」裡的 32 ＝ 38 − 6，也就是第 1 區沒開出來的號碼數；「× 7」裡的 7 ＝ 8 − 1，第 2 區沒開出來的號碼數。把這兩個數字記住，整張表就能自己重建出來。
本站算的總中獎率和官方不一樣，這裡講清楚
把十個獎項的組合數加起來：
1 ＋ 7 ＋ 192 ＋ 1,344 ＋ 7,440 ＋ 52,080 ＋ 99,200 ＋ 539,400 ＋ 694,400 ＋ 1,208,256 ＝ 2,602,320
22,085,448 ÷ 2,602,320 ＝ 8.49
1/8.49
約 1/9
我們把這個差異寫出來，而不是偷偷改成 1/9。官方數字是準據，本站的算式是給你驗算用的。如果你按出來和我們不一樣，那就是我們錯了，算式全部在上面可以逐步檢查。
第 2 區那 1/8 造成的差距有多大
威力彩最特別的設計是第 2 區只有 8 個號碼。同樣是第 1 區對中 5 個，第 2 區中不中，獎金差 7.5 倍：
＋第2區也中
150,000 元
第2區沒中
20,000 元
這個結構解釋了為什麼威力彩的獎項有十個：第 1 區的每一種對中情形，都被第 2 區切成兩半。
機率這麼低，那些「提高中獎機率」的說法呢
直接用上面的算式檢查一次。
- 選冷門號碼會比較容易中？不會。每一組 6＋1 的組合機率都是 1/22,085,448，算式裡沒有任何一項和「這個號碼最近開幾次」有關。
- 買連號比較不容易中？也不會。連號和任何一組的機率完全相同。唯一的實務差別是：如果真的開出來，選連號的人可能比較多，均分時每人拿得少。
- 買越多注機率越高？這句話字面上對，但要看清楚它的代價。買 100 注的中頭獎機率是 100/22,085,448，仍然約 22 萬分之一，而你付出的是 10,000 元（每注 100 元）。返還率不變——官方公布的總獎金支出率是 55%。
- 系統組合可以提高機率？系統組合只是一次買很多注，每一注的機率不變。官方對照表顯示選 16 個號碼會產生 8,008 注、800,800 元。
所有「提高中獎機率」的方法，本質上都只是「買更多注」的另一種說法。
機率之外：獎金怎麼算
機率是這頁的主題，但要判斷值不值得還要看獎金。官方公布的兩個關鍵數字是：總獎金支出率 55%，以及頭獎 89%、貳獎 11% 的分配比率。
意思是：每賣出 100 元，平均有 55 元會以獎金形式回到購買者手上，換算成每注 100 元就是平均拿回 55 元。
獎金的完整算法、2 億保底的真正條件，在威力彩獎金那一頁。兩頁一起看才完整：這頁回答「多難中」，那頁回答「中了多少錢」。
算一次給你看：買很多注，機率變多少
買 n 注不同號碼，中頭獎的機率就是 n ÷ 22,085,448。把幾種常見的買法換算成數字：
頭獎機率與花費（本站依官方售價與組合數計算）
- 每期買 1 注1/22,085,448，花 100 元
- 每週兩期、各買 1 注、買滿一年（104 注）104/22,085,448 ≈ 1/212,360，花 10,400 元
- 一次買 1,000 注不同號碼1,000/22,085,448 ≈ 1/22,085，花 100,000 元
- 第 1 區系統組合選 16 個號碼8,008 注，頭獎機率 8,008/22,085,448 ≈ 1/2,758，花 800,800 元
換成「至少中任何一個獎」的角度：每一注的總中獎率是 2,602,320/22,085,448，買 10 注不同號碼，至少有一注中獎的機率約 1 − (1 − 0.1178)¹⁰ ≈ 71%。但這些中獎大多是 100 元的普獎與玖獎，也就是只拿回一注的本金。
機率跟著注數線性增加，花費也是。長期返還仍然是官方公布的總獎金支出率 55%，買越多注，只是越快、越穩定地接近這個比例。
系統組合的注數怎麼算
系統組合的注數也是組合數。第 1 區選 n 個號碼，注數是 C(n,6)；第 2 區選 m 個號碼，注數是 m；兩區同時用，就相乘：
總注數 ＝ C(第 1 區選號數, 6) × 第 2 區選號數
用這條公式驗算官方對照表
- 第 1 區選 7 個
C(7,6) ＝ 7注，700 元 - 第 1 區選 8 個
C(8,6) ＝ 28注，2,800 元 - 第 1 區選 10 個
C(10,6) ＝ 210注，21,000 元 - 第 1 區選 16 個
C(16,6) ＝ 8,008注，800,800 元 - 官方複合式範例第 1 區 8 個、第 2 區 2 個 →
28 × 2 ＝ 56注，5,600 元
算出來的注數和官方對照表完全一致。系統配號則是另一種算法：第 1 區自選 5 個、與其餘 33 個號碼逐一配對，固定 33 組。
自己驗算的方法
這頁所有數字都能在三十秒內自己驗算。三種工具任選一種：
- 試算表：在 Excel 或 Google 試算表輸入
=COMBIN(38,6)，會得到 2,760,681；再乘 8 就是 22,085,448。 - 一般計算機：按 38×37×36×35×34×33，再除以 720（也就是 6×5×4×3×2×1）。
- 手算檢查：每個獎項的組合數加起來要等於 2,602,320，而所有「沒中獎」的組合加上 2,602,320 要剛好等於 22,085,448。
同一套方法也能算其他樂透型遊戲：大樂透是 C(49,6) ＝ 13,983,816，今彩539 是 C(39,5) ＝ 575,757。三個頭獎分母一比，就知道哪個比較難中：威力彩的頭獎分母大約是大樂透的 1.6 倍、今彩539 的 38 倍。
中獎之後：一步一步領獎
中獎之後要做的事其實只有三件：確認中了多少、去對的地方、在期限內領。下面照順序走一次。
領獎六步驟（台灣彩券〈如何兌獎〉頁，2026-09-22）
- ① 先對獎開獎號碼公告在台灣彩券官網與 App，App 也能掃票面 QR Code 對獎。官網的「對獎小幫手」可以幫你核對號碼，但官方提醒它的結果不能當領獎憑證，最後還是要拿彩券正本到投注站，由投注機完成兌獎驗證
- ② 什麼時候能去開獎結果公布後 10 分鐘起就可以兌領
- ③ 看金額決定去哪5,000 元（含）以下：投注站就能領，不用帶證件；5,001 元到 500 萬元：中國信託商業銀行指定的營業單位或金融機構；超過 500 萬元：先打高額兌獎專線 0800-024-500（週一至週五 09:00~17:00）預約
- ④ 要帶什麼中獎彩券正本，加上本人身分證或其他身分證明文件。外籍人士只能到中國信託指定據點領：居住未滿 183 天帶護照，超過 183 天帶居留證與護照
- ⑤ 會扣多少以每一注的獎額判斷：不超過 5,000 元免扣；超過就扣該注全額的 20% 所得稅（分離課稅，不用併入年度綜合所得申報，扣掉的也不能退）；用現金或轉帳領，另代扣千分之四印花稅
- ⑥ 期限開獎日次日起三個月內。官方範例：113 年 1 月 2 日開獎，1 月 3 日起算，4 月 2 日截止；遇到銀行休息日會往後順延。超過 5,000 元的獎要在截止日當天的銀行營業時間內辦完
算一次給你看（本站依官方稅率計算）
- 普獎、玖獎 100 元投注站直接領，全額入手
- 參獎 150,000 元
150,000 × 79.6% ＝ 119,400 元，到中國信託指定據點領 - 頭獎（超過 500 萬元）先打 0800-024-500 預約，再依預約時間地點兌領
彩券不能掛失，遺失或被偷就領不到；被火燻、水浸、油漬、塗染或破損到無法辨認真偽也不予兌獎。所以中獎的票要收在乾燥、不會被折壞的地方，盡早去領。
名詞解釋
機率相關用語
- 組合數 C(n,k)從 n 個東西挑 k 個、不計順序的挑法數量
- 分母所有可能結果的總數；威力彩一注的分母是 22,085,448
- 總中獎率十個獎項任一個中的機率合計
- 獨立開獎每一期的結果不受前幾期影響，所以「很久沒開」不會讓機率變高
- 返還率長期平均每投入 1 元拿回多少；威力彩官方公布總獎金支出率 55%
常見問題
1/2,209萬 到底有多低？
本站不做那種「比被雷劈還低」的比喻，因為那類比較通常沒有可靠來源。能確定的是這個數字的來源：C(38,6)×8 ＝ 22,085,448，算式在上面，你可以自己按一次。
槓龜很多期，是不是比較容易開了？
不是。每一期都是獨立開獎，累積的是獎金不是機率。機率永遠是 1/22,085,448，和前面槓了幾期完全無關。
為什麼你們算的 1/8.49 和官方的 1/9 不一樣？
看起來是官方取整時往保守方向寫（把 8.49 寫成 9）。我們把兩個數字都列出來，官方數字是準據，我們的算式是給你驗算的。今彩539 也有同樣情形（本站 1/8.77 對官方「約 1/9」）。
威力彩和大樂透哪個比較好中？
頭獎：大樂透 1/13,983,816、威力彩 1/22,085,448，大樂透機率較高。總獎金支出率：大樂透 56%、威力彩 55%，也是大樂透略高。但兩者都是負期望值，差距不改變這件事。
普獎 1/18.3，是不是買 18 注就會中一次？
不是。1/18.3 是每一注各自的機率，買 18 注不同號碼全部沒中普獎的機率約 (1 − 1/18.28)¹⁸ ≈ 36%，超過三分之一。
為什麼第 1 區不用管號碼順序？
因為威力彩的獎項只看「對中幾個」，不看開出的先後。所以第 1 區用的是不計順序的組合數 C(38,6)，而不是排列數；3星彩、4星彩才是看位置的遊戲。
電腦快選和自己選，機率一樣嗎？
一樣。快選只是由投注機隨機產生號碼，每一組 6＋1 的機率都是 1/22,085,448。唯一可能的實務差別是：自己選的號碼如果剛好是很多人愛選的組合，萬一中了要跟更多人平分。
中了普獎 100 元，這一注算賺嗎？
不算。威力彩每注 100 元，普獎與玖獎都是 100 元，剛好拿回本金。官方標示的「總中獎率約 1/9」裡，大部分就是這兩個獎項，所以看到中獎率時要一起看獎金。
這頁的機率會因為開獎方式不同而改變嗎？
不會。第 1 區與第 2 區各自從號碼球中隨機開出，每一組號碼被開出的機會相同，所以分母固定是 22,085,448。開獎過程由獨立公正人士監督，中獎號碼以其簽署的紀錄表為準。
第 2 區全部包起來，機率會變多少？
第 2 區選 8 個是 8 注、800 元，頭獎機率變成 8/22,085,448，也就是第 1 區的 1/2,760,681。第 2 區一定會中一個，但能不能中獎仍然看第 1 區對中幾個。
資料來源
- 台灣彩券 遊戲介紹－威力彩（玩法、獎金分配方式、官方中獎率、系統組合對照表、複合式系統投注）：
https://www.taiwanlottery.com/lotto/info/super_lotto638 - 台灣彩券 遊戲介紹－大樂透（用於對照）：
https://www.taiwanlottery.com/lotto/info/lotto649 - 台灣彩券 遊戲介紹－今彩539（用於對照）：
https://www.taiwanlottery.com/lotto/info/daily_cash - 台灣彩券 如何兌獎（兌獎地點、期限、扣稅）：
https://www.taiwanlottery.com/customer_service/how_to_redeem - 各類所得扣繳率標準 第 2 條（每注獎額 5,000 元門檻）：
https://law.moj.gov.tw/LawClass/LawSingle.aspx?Pcode=G0340028&FLNO=2
本頁所有玩法、獎項、獎金與官方中獎率，皆取自台灣彩券官方網站的遊戲介紹頁，擷取日期 2026-09-21。官方頁面若日後修改，以官方頁面為準。 組合數與各獎項機率為本站計算，算式已完整列於內文可自行驗算；本站算出的總中獎率與官方標示的差異已在頁面上標明。